数学系大学院生の徒然草

こちらの「微分積分学序論」ですね。

高校数学の終わりからスタートするので初学者にはわかりやすいと思います。

例題や演習問題も豊富ですし、ちゃんと重積分まで網羅しているのでこれが一通りできれば工学系の大学院入試の演習に入ってもいいと思います。

サクッとですが極限の定義など解析学の初歩についても触れています。

ただ、n次元重積分などは載ってませんので、そこらへん学びたいぜって人にはこちらもお勧めします。

「微分積分学 (現代数学ゼミナール)」　これですね。

上のものよりもう少し理論よりで難しいって感じですね。

それと今だったらだいぶ安いです(笑)

・解析学

次に紹介するのは解析学の本です。

解析学ってのは、微分積分学なんかは計算方法がメインなんですがこちらは完全に理論の話です。ε-δ論法なんか聞いたことあるかもしれませんがまさにそれですね。

まず初めに極限を上の論法で定義して、連続だとか一様有界だとかを学んでいきます。

初学者にわかりやすいのがこちら。

解析入門30講 (数学30講シリーズ)

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志賀浩二朝倉書店 1988-11-01

「解析入門30講 (数学30講シリーズ)」です。

分かりやすいよう図なども豊富ですから色々な定義のイメージがつかみやすいと思います。証明も手取り足取りって感じで丁寧に書かれています(笑)

逆に言うと少し勉強したことあるよって人からすると書き方がくどいかもしれません。

マジの初心者はこれを読んで解析学とは何ぞやって所を学ぶとよいかと思います。

がっつりやりたいぜって人はこちら。

定本解析概論

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高木貞治岩波書店 2010-09-16

「定本解析概論」です。

神のような書物です。何でも書いています。

ルベーグ積分についても書かれています。

内容自体は正直難しいですが、解析の研究したいって人は絶対に持っておいて損はしません。

大学の先生もこれで勉強したよって人が多いと思うので、たいていの授業の補助役にも成りえます。

例も色々と書いてあるので値段は高いですが間違いはないですね。

・常微分方程式

次は常微分方程式の本についての紹介です。

微分方程式の本なんかはめちゃめちゃ多いですから気に入ったやつを買って勉強すればいいと思います(笑)

ただ、工学系の教授が書いた本は演習にはいいですが理論がいささか弱いと思いますね。理論を学びたいって人は数学科の教授が書いた本をお勧めします。

で、僕が紹介するのはこの本。

講座数学の考え方〈7〉常微分方程式論

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柳田英二,栄伸一郎朝倉書店 2002-01-01

「講座数学の考え方〈7〉常微分方程式論」ですね。

少々高いですが、めっちゃ理論が載ってます。

一般的な形で書かれていますので、具体例が色々学びたいんだって人には少しきついかも。

解の存在などの基礎理論や物理と関わる部分なども書かれています。

もうちょい易しいのをお望みの人にはこちら。

常微分方程式入門第2版

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原惟行,松永秀章共立出版 2013-03-08

「常微分方程式入門第2版」です。

安いうえにそんな分厚くないので読みやすいです。

著者も工学系出身なので計算方法よりの内容となっています。

基礎理論についても少し書かれていますがわかりやすいですよ。

もっと工学よりのがいいぜって人はこちら。

常微分方程式 (技術者のための高等数学)

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E. クライツィグ培風館 2006-11-01

偏微分方程式 (サイエンスライブラリ現代数学への入門)

「常微分方程式 (技術者のための高等数学)」です。

初っ端から物理を題材にした常微分方程式の説明がされており、

物理系や工学系の人に向いていると思います。

僕は正直あんまり参考にしたことはないですけど(笑)

・偏微分方程式論

偏微分方程式論の本を紹介しましょうか。

偏微分方程式ってのは、基本的に「楕円型」「放物型」「双曲型」に大別されるんですね。

で、なにがややこしいかって各々解法が全然違うんですよ。

つまり、一つのタイプだけを扱ってる本などは多いんですが、全部を網羅的に載せてる本って案外なかったり、各々の内容が薄いことが多いです。

よって、自分の扱う方程式が何型かを見極めて対応する参考書を選んでください。

ただ、網羅的にかつしっかり学びたいぜって人はこちら。

「Partial Differential Equations (Graduate Studies in Mathematics)」これですね。

先生曰く大ヒットした本らしいです(笑)

めっちゃ高いしめっちゃ分厚い、ただ初学者でもしっかり学べます。

丁寧に書かれてますし、Sobolev空間の理論や固有値問題についても言及しておりめちゃめちゃ優秀な本です。

大学の図書館にあると思うんで気になる人は探してみてください。

英語はきついわぁって人にはもう一冊網羅的な本を紹介しましょう。

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加藤義夫サイエンス社 2003-11-01

「偏微分方程式 (サイエンスライブラリ現代数学への入門)」これです。

めっちゃ易しいのでこれだけはきついかも。

これを導入として他の本も見てください(笑)

他にも、東京出版の本やマセマもいいと思います。

ただ偏微分方程式の本は他のジャンルと違って結構著者のくせとか研究内容が出ますので、必ず一度は自分の目で見てみるのが大切だと思います。

そのうえで自分に合ったものを選んでくださいね。

・ルベーグ積分と関数解析

最後にこれらの本を紹介したいと思います。

まず始めはこれ。

ルベーグ積分入門 (応用解析の基礎)

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洲之内治男内田老鶴圃 2000

「ルベーグ積分入門 (応用解析の基礎)」これです、めっちゃ古いですがすごい良書です。

例や証明、はたまた反例まで色々載ってます。

この著者はたくさん本を出している方で他の本もいいですよ。

後は、吉田洋一って方の本もすごい分かりやすいです。

理論よりですが(笑)

関数解析の初学者にはこちらをお勧めします。

関数解析 (数学シリーズ)

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増田久弥裳華房 1994-07-01

ちょこちょこミスがあるのがあれですがわかりやすいです(笑)

そんなに高くないし分厚くないしで手に取りやすいですね。

がっつり学びたいぜって人はこちら。

関数解析共立数学講座 (15)

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黒田成俊共立出版 1980-11-01

めっちゃしっかり理論について書かれていますゆえに難しいです(笑)

大学のレポートや試験がこっから出されていることも珍しくないのでこれをきっちり理解できれば怖いものはないですね(笑)

関数解析って微分方程式を解くのに利用されるんですが、この本は微分方程式との絡みが少し弱いかもしれません。

そんな時はSobolev空間をメインで扱ってる本を見てみるとよいと思います。

関数解析―その理論と応用に向けて

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藤田宏,小西芳雄,Brezis Haim 産業図書 1988-10-01