数学系大学院生の徒然草

関西在住の国立大学院生が学問や人生、日常を徒然なるままに書き記す雑記です。できるだけ有用な記事を嗜むつもりです。

関数解析～線形空間～

関数解析

どうも私です。

みなさんいかがお過ごしですか？

僕は最近になってから西村賢太にハマって読書しまくってます。

西村氏は私小説家ってことで実体験をもとに本を書いている方なんですが、

人間性がほんとにくずすぎて僕は大好きです(笑)

今日は「線形空間」(ベクトル空間とも言います。)ってやつを考えていきます。

関数解析では、色々な元(要素のこと)をもつ「空間」というものを考える必要があります。

空間というのは色々な元の集合のことですね。

で、ざっくり空間といっても様々な空間があるわけで、

どういった空間を考えるかというのが重要です。

全ての実数だけを含む空間なのか、複素数も含む空間なのか、それとも整数のみなのか自然数だけなのか、、、みたいな感じで。

ただ関数解析では、「関数空間」といって色々な関数を含む空間を考えます。

連続関数だけを含む空間なのかとか、一回だけ微分できる関数の空間なのかとか、

それとも無限回微分できる関数の空間なのか弱微分できる関数の空間なのかみたいな感じで関数空間は色々と考えることはできるんですよね。

そういった話はまた今度で、今日は「線形空間」ってやつを紹介しましょう。

まずは線形空間の例をあげましょう。例えば、平面上の点の全体 $\mathbb{R}^2$ や、空間上の点全体 $\mathbb{R}^3$ などがあります。 xy座標のすべての点やxyz座標のすべての点ってことですね。この $\mathbb{R}^2$ や $\mathbb{R}^3$ はそれぞれ、

$\mathbb{R}^2 =\{x = (x_1,x_2) | x_1,x_2 \in \mathbb{R}\}$ 、

$\mathbb{R}^3 =\{x = (x_1,x_2,x_3) | x_1,x_2,x_3 \in \mathbb{R}\}$

と書けますね。

この意味ですけど、xy座標の点って(x,y)みたいな感じで二つの値で決定しますよね。

このxとyが上の $x_1$ と $x_2$ に当たるんですね、さらにそ $x_1$ と $x_2$ は実数ですよ(複素数でない)ってことです。 $\mathbb{R}^3$ も同じ意味です。

で、これをN次元にまで拡張すると、

$\mathbb{R}^N =\{x = (x_1,x_2,\cdots,x_n) | x_1,x_2,\cdots,x_n \in \mathbb{R}\}$

ってなりますよね。

この $\mathbb{R}^N$ の元をN次元ベクトルといいます。つまりN次元ベクトルの集合が $\mathbb{R}^N$ なんですね。

ここでx,yを $\mathbb{R}^N$ の元とし、 $\alpha \in \mathbb{R}$ (ただの実数)とすると、

$x+y=(x_1+y_1,\cdots.x_N+y_N)\in\mathbb{R}^N$ 、 $\alpha x = (\alpha x_1,\cdots,\alpha x_N)\in\mathbb{R}^N$

が成り立ちます。

(実数は和について閉じているから。和もまた実数だよってことです。)

結局、 $\mathbb{R}^N$ における和や実数倍もまた $\mathbb{R}^N$ の元であると。

これらが成り立つとき、 $\mathbb{R}^N$ は線形空間であると言います。

簡単でしょ(笑)

線形性が成り立っていればいいよってことです。

ちなみに $x^2$ とか $x^3$ とかは非線形だから線形性がなりたちませんよ。

最後に線形空間きっちり定義しておきましょう。

定義(線形空間)

集合 X が線形空間であるとは, $x, y \in X, \alpha \in \mathbb{R}$ に対して, 和 $x+y \in X$ , 実数倍 $\alpha x \in X$ が定義されており, 以下の性質を満たすときをいう: 任意の $x, y, z \in X, α, β \in \mathbb{R}$ に対して以下が成り立つ.

(1) $(x+y)+z = x+(y+z)$

(2) $x+y = y+x$

(3) $x+0=x$ を満たす満たす元 $0\in X$ がただ一つ存在する。

(4) $x+(−x) = (−x)+x = 0$ が成り立つような元 $−x \in X$ が存在する.。

(5) $\alpha (x + y) = \alpha x + \alpha y$

(6) $(\alpha + \beta )x = \alpha x + \beta x$

(7) $(\alpha\beta)x = \alpha(\beta x) =\alpha \beta x$ $1x = x$

なんかいろいろありますが定義なんできっちり書いているだけで、

線形空間かどうかを確かめたければ和と実数倍だけ確かめればオッケーです！

今日は以上です。

次はノルム空間をやってその後にBanach空間やHilbert空間みたいな関数解析っぽいやつをやっていく予定です！

分からないことなどがあればこちらにどうぞ！

akiyamatakeshi@excite.co.jp

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